微積分

微積分

图书基本信息
出版时间:1999-9
出版社:高等教育出版社
作者:同濟大學數學系 編
页数:363
字数:440000
书名:微積分
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微積分
前言
  本書第一版出版于1999年9月,是國內出版較早的高等教育面向21世紀課程教材。第二版出版于2003年8月,屬普通高等教育“十五”國家級規劃教材。在國內的微積分教材改革中,本書有一定影響。  根據第二版出版以來五年多的使用情況,參照教育部高等學校教學與統計學教學指導委員會新修訂的“工科類本科數學基礎課程教學基本要求”,結合編者在教學實踐中的新的體會和同行反饋的寶貴意見,決定再次修訂。  本書前兩版的主要特色是在保持傳統教材、特別是同濟大學編《高等數學》的優點的基礎上,努力貫徹改革精神,體現教改成果。本次修訂時注意保持這一特色,同時使教材進一步貼近廣大學生的實際,更便于教學和學生自學。為此在保持原有框架和內容、風格不變的前提下,對部分內容作了修改和重寫。比如對函數的凸性,盡管其有近代數學的應用背景,但同行反映實際教學時有不便之處,容易使學生在閱讀參考材料時產生混淆,故這次重新處理為曲線的凹凸性。又如對曲面的切平面和法向量的導出,這次作了修訂,更加突出其幾何直觀,便于學生掌握。再如對“傅里葉級數與最佳均方逼近”這一節打*號的內容的處理,作了進一步的精簡,突出主要思想,簡化細節。這樣的修訂都是圍繞如何有利于學生學習這一目標進行的。對數學記號和邏輯符號的使用,在保持適當介紹的做法下。這次修訂時確定在定義、定理的敘述中一般采用語言表述,適當限制使用範圍,以降低內容的抽象度,減少初學者的困難。  為了便于教學,我們對個別節、目的內容進行了重新組合。比如原來把極限的性質單列一節,這樣做有它的優點,但實際教學時發現教學安排不甚方便,故這次把數列極限的性質和函數極限的性質適當簡化處理,並分列到“數列極限的定義”和“函數極限的定義”兩節中,充實後的這兩節,正好作為各一次授課的內容。按照同樣的精神,對少數例題和習題作了調整,引入了一些被教學實踐證明有較高效能的較為新穎的概念題和練習題,刪除了少數並不十分必要的習題,以更加符合學生的認識規律和學習需求。
内容概要
本書參照新修訂的“工科類本科數學基礎課程教學基本要求”,結合當前的教學實際,在原書第二版的基礎上修訂而成。在保持同濟編教材優秀傳統的同時,努力貫徹教學改革的精神,加強對微積分的基本概念、理論、方法和應用實例的介紹,突出微積分的應用。本書結構嚴謹,邏輯清晰,文字表述詳盡通暢,平易近人,易教易學,改編後的內容編排也更利于教學的組織和安排。所選用的習題突出數學基本能力的訓練而不過分追求技巧,既有傳統的優秀題目,又從國外教材中吸取或改編了一些有較高訓練效能的新穎習題。通過數學實驗將微積分與數學軟件的應用有機結合起來是本書的一個特色,經過改編,數學實驗與教學內容的結合更加緊密,有利于培養學生的數學建模能力。書中有些內容用楷書排印或加了“*”號,教師可靈活掌握。本書可作為工科和其他非數學類專業的高等數學(微積分)教材或參考書。    全書分上、下兩冊出版。上冊的內容為函數、極限與連續,一元函數微分學,一元函數積分學和微分方程,四個與一元函數微積分相關的數學實驗,附錄中有數學軟件Mathematica的簡介。下冊內容為向量代數與空間解析幾何,多元函數微分學,重積分,曲線積分與曲面積分,無窮級數,三個與多元微積分和級數有關的數學實驗。書末附有習題答案與提示。
书籍目录
預備知識    一、集合(1)  二、映射(4)  三、一元函數(6)  習題(17)第一章  極限與連續  第一節  微積分中的極限方法  第二節  數列的極限    一、數列極限的定義(24)  二、數列極限的性質(29)  習題1-2(31)  第三節  函數的極限    一、函數極限的定義(32)  二、函數極限的性質(38)    習題1-3(40)  第四節  極限的運算法則    一、無窮小與無窮大(41)  二、極限的運算法則(45)  習題l  4(49)  第五節  極限存在準則與兩個重要極限    一、夾逼準則(50)  二、單調有界收斂準則(53)  習題1-5(57)  第六節  無窮小的比較    一、無窮小的比較(58)  二、等價無窮小(60)  習題1-6(63)  第七節  函數的連續性與連續函數的運算    一、函數的連續性(63)  二、函數的間斷點(66)    三、連續函數的運算(68)  習題1-7(70)  第八節  閉區間上連續函數的性質    一、最大值最小值定理(71)  二、零點定理與介值定理(72)    習題1-8(75)    總習題一第二章  一元函數微分學  第一節  導數的概念    一、導數概念的引出(80)  二、導數的定義(81)    三、函數的可導性與連續性的關系(85)  習題2-1(86)  第二節  求導法則    一、函數的線性組合、積、商的求導法則(87)  二、反函數的導數(91)    三、復合函數的導數(93)  習題2  2(96)  第三節  隱函數的導數和由參數方程確定的函數的導數    一、隱函數的導數(98)  二、由參數方程確定的函數的導數(102)    三、相關變化率(104)  習題2-3(106)  第四節  高階導數    習題2-4(111)  第五節  函數的微分與函數的線性逼近    一、微分的定義(112)  二、微分公式與運算法則(114)    三、微分的意義與應用(116)    習題2-5(120)  第六節  微分中值定理    習題2  6(126)  第七節  泰勒公式    習題2-7(133)  第八節  洛必達法則    一、未定式(134)  二、未定式(136)  三、其他類型的未定式(137)    習題2-8(139)  第九節  函數單調性與曲線凹凸性的判別法    一、函數單調性的判別法(140)  二、曲線的凹凸性及其判別法(143)    習題2-9(149)  第十節  函數的極值與最大、最小值    一、函數的極值及其求法(150)  二、最大值與最小值問題(153)    習題2  10(157)  第十一節  曲線的曲率    一、平面曲線的曲率概念(159)  二、曲率公式(160)  習題2  u(164)*第十二節  一元函數微分學在經濟中的應用    總習題二第三章  一元函數積分學  第一節  不定積分的概念及其性質    一、原函數和不定積分的概念(172)  二、基本積分表(174)    三、不定積分的性質(175)  習題3  l(177)  第二節  不定積分的換元積分法    一、不定積分的第一類換元法(177)  二、不定積分的第二類換元法(182)    習題3-2(185)  第三節  不定積分的分部積分法    習題3-3(189)  第四節  有理函數的不定積分    習題3  4(195)  第五節  定積分    一、定積分問題舉例(195)  二、定積分的定義(198)    三、定積分的性質(201)  習題3  5(205)  第六節  微積分基本定理    一、積分上限的函數及其導數(206)  二、牛頓-萊布尼茨公式(207)    習題3  6(212)  第七節  定積分的換元法與分部積分法    一、定積分的換元法(213)  二、定積分的分部積分法(218)    習題3-7(220)  第八節  定積分的幾何應用舉例    一、平面圖形的面積(222)  二、體積(227)  三、平面曲線的弧長(230)    習題3  8(236)  第九節  定積分的物理應用舉例    一、作功(237)  二、水壓力(239)  三、引力(240)    習題3-9(241)  第十節  平均值    一、函數的算術乎均值(242)  二、函數的加權乎均值(243)    三、函數的均方根平均值(244)  習題3-10(245)  第十一節  反常積分    一、無窮限的反常積分(246)  二、無界函數的反常積分(249)   *三、廠函數(252)  習題3-11(254)    總習題三第四章  微分方程  第一節  微分方程的基本概念    習題4-1(263)  第二節  可分離變量的微分方程    習題4-2(270)  第三節  一階線性微分方程    習題4-3(275)  第四節  可用變量代換法求解的一階微分方程    一、齊次型方程(275)  *二、可化為齊次型的方程(278)   *三、伯努利方程(280)  習題4-4(、281)  第五節  可降階的二階微分方程    一、y''=f(x)型的微分方程(282)  二、y''=f(J,y')型的微分    方程(282)  三、y''=f(夕,y')型的微分方程(283)    四、可降階二階微分方程的應用舉例(284)  習題4  5(288)  第六節  線性微分方程解的結構    習題4-6(292)  第七節  二階常系數線性微分方程    一、二階常系數齊次線性微分方程(293)  二、二階常系數非齊次線性    微分方程(297)  三、二階常系數線性微分方程的應用舉例(301)    習題4-7(307)    *第八節  高階變系數線性微分方程解法舉例    一、解二階變系數線性微分方程的常數變易法(308)  二、解歐拉方程的指數代換法(309)    習題4-8(310)    總習題四實驗  實驗1  數列極限與生長模型  實驗2  泰勒公式與函數逼近  實驗3  方程近似解的求法  實驗4  定積分的近似計算附錄  附錄一  數學軟件Mathcmatica簡介  附錄二  幾種常用的曲線習題答案與提示記號說明
章节摘录
  为了解决实际问题的需要,人们常常希望确定反映客观事物的內部联系的数量关系,即确定所讨论的变量之间的函数关系.寻找函数关系的方法很多,通常可对实验观察的抽样数据进行处理,从中发现规律.然而有些问题往往很难根据数据直接找出所需要的函数关系,但是在分析了问题提供的情况后,可以列出所求函数的导数所满足的关系式,这种关系式就是所谓的微分方程.分析问题并列出微分方程的过程就叫建立微分方程.当微分方程建立以后,通过一定的数学方法找出所求的未知函数来,这就是解微分方程.本章将结合具体例子介绍微分方程的一些基本概念和几种常用的微分方程的经典解法。  微分方程是利用一元微积分的知识解决几何问题、物理问题和其他各类实际问题的重要数学工具,也是对各种客观现象进行数学抽象、建立数学模型的重要方法,有着广泛的应用。微分方程本身是一门独立的、内容十分丰富的数学课程,本章只能对它作粗略的介绍。
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